薛江维：数院303，email: xue_j@whu.edu.cn

教材：An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry by Wiliam W. Boothy

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集合论

1. 幂集：所有子集组成的集合

   e.g. \(A\)的幂集：\(2^{A}\)

2. 映射：
   • 单射：\(f: A \rightarrow B\)
   • 满射：\(f: A \twoheadrightarrow B\)
   • 双射：\(f: A \leftrightarrow B\)

3. 定义：集合元素个数称为集合的基数（势），记为\(\vert A \vert\)

   命题：如果\(\vert A \vert < \infty\)，则\(\vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}\)

   1. \(\vert A \vert = \vert b \vert\)，当且仅当存在双射\(f: A \leftrightarrow B\)
   2. 称\(\vert A \vert \leqslant \vert B \vert\)，若存在单射\(f: A \rightarrow B\)
   3. 若\(\vert A \vert \leqslant \vert B \vert\)且\(\vert B \vert \leqslant \vert A \vert\)，则\(\vert A \vert = \vert B \vert\)
4. 定义：满足如下条件之一的集合称为可数集
   1. 如果\(\vert A \vert < \infty\)
   2. 存在\(f: \mathbb{N} \leftrightarrow A\)（无穷可数）

   基本性质：

   1. 可数集的子集一定可数
   2. 可数个可数集的并集一定可数
   3. 有限个可数集的直积可数

   若 \(\underset{ 1 \leqslant i \leqslant n }{S_i}\) 可数，则 \(S_1\times S_2 \times S_3 \times \dots \times S_n\) 可数

   证明：只要证明\(n=2\)（\(n>2\)归纳）

   e.g. \(Q=\frac{a}{b}.a,b\in \mathbb{Z},b>0,gcd(a,b)=1\),\(Q\)为可数集

5. 定理：设X={0，1}为两个元素的集合，则。。。 证明：反证法
6. 定理：设A为一个集合，则 ，即不存在由A到 的满射 证明：设。。。

拓扑学

1. 定义：设X为一个非空集合，X上的一个拓扑T是满足以下性质的子集族
   1. T包含空集及X
   2. T中任意多个元素的并集仍属于T
   3. T中有限个元素的交集仍属于T 有序对(X,T)被称为一个拓扑空间（若T给定，则简称X为一个拓扑空间），T中的元 素称为开集，开集的补集称为闭集 e.g. X=R
      • 平凡拓扑
      • 离散拓扑
2. 定义：若T与T’为X上的两个拓扑，如果T’>T，则称T’比T精细，T比T’粗糙

   拓扑基

3. 定义：称。。。