薛江维：数院303，email: xue_j@whu.edu.cn

教材：An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry by Wiliam W. Boothy

集合论

  1. 幂集：所有子集组成的集合

    e.g. \(A\)的幂集：\(2^{A}\)

  2. 映射：
    • 单射：\(f: A \rightarrow B\)
    • 满射：\(f: A \twoheadrightarrow B\)
    • 双射：\(f: A \leftrightarrow B\)

  3. 定义：集合元素个数称为集合的基数（势），记为\(\vert A \vert\)

    命题：如果\(\vert A \vert < \infty\)，则\(\vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}\)

    1. \(\vert A \vert = \vert b \vert\)，当且仅当存在双射\(f: A \leftrightarrow B\)
    2. 称\(\vert A \vert \leqslant \vert B \vert\)，若存在单射\(f: A \rightarrow B\)
    3. 若\(\vert A \vert \leqslant \vert B \vert\)且\(\vert B \vert \leqslant \vert A \vert\)，则\(\vert A \vert = \vert B \vert\)
  4. 定义：满足如下条件之一的集合称为可数集
    1. 如果\(\vert A \vert < \infty\)
    2. 存在\(f: \mathbb{N} \leftrightarrow A\)（无穷可数）

    基本性质：

    1. 可数集的子集一定可数
    2. 可数个可数集的并集一定可数
    3. 有限个可数集的直积可数

    若 \(\underset{ 1 \leqslant i \leqslant n }{S_i}\) 可数，则 \(S_1\times S_2 \times S_3 \times \dots \times S_n\) 可数

    证明：只要证明\(n=2\)（\(n>2\)归纳）

    e.g. \(Q=\frac{a}{b}.a,b\in \mathbb{Z},b>0,gcd(a,b)=1\),\(Q\)为可数集

  5. 定理：设X={0，1}为两个元素的集合，则。。。 证明：反证法
  6. 定理：设A为一个集合，则 ，即不存在由A到 的满射 证明：设。。。

拓扑学

  1. 定义：设X为一个非空集合，X上的一个拓扑T是满足以下性质的子集族
    1. T包含空集及X
    2. T中任意多个元素的并集仍属于T
    3. T中有限个元素的交集仍属于T 有序对(X,T)被称为一个拓扑空间（若T给定，则简称X为一个拓扑空间），T中的元 素称为开集，开集的补集称为闭集 e.g. X=R
      • 平凡拓扑
      • 离散拓扑
  2. 定义：若T与T’为X上的两个拓扑，如果T’>T，则称T’比T精细，T比T’粗糙

    拓扑基

  3. 定义：称。。。